web analytics

А.Н. Яковлев. Введение в вейвлет-преобразования – конспект ВК

  • Основы вейвлет-преобразования
    • Вейвлет-преобразование (ВП) одномерного сигнала – это его представление в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций, сконструированных из материнского (исходного) вейвлета ψ(t) ,
      • Для практического применения важно знать признаки, которыми непременно должна обладать исходная функция, чтобы стать
        вейвлетом. Основные из них:

        • Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конечным.
        • Локализация. ВП в отличие от преобразования Фурье использует локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте.
        • Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени и иметь нулевую площадь.
        • Автомодельность. Характерным признаком ВП является его самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства ψab (t) имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет ψ(t) , поскольку получены из него посредством масштабных преобразований ( a ) и сдвига ( b ).
      • Наиболее распространенные материнские вейвлеты конструируются на основе производных функции Гаусса g(t) = exp(−t / 2)) . Это обусловлено тем обстоятельством, что функция Гаусса имеет наилучшие показатели локализации как во временной, так и в  частотной областях. Совместное использование вейвлетов g1 − g4 для ВП существенно повышает точность вейвлет-анализа.
      • Большинство типов вейвлетов не имеют аналитического описания в виде одной формулы, а задаются итерационными  выражениями, легко вычисляемыми компьютерами. Примером таких вейвлетов являются функции Добеши (Daubechies), одна из которых (db4) используется в качестве встроенной для ВП в Mathcad. В настоящее время выбор вейвлетов довольно обширен.
        Только в пакете Wavelet Toolbox 2.0/2.1 (MATLAB 6) представлено полтора десятка материнских вейвлетов; при этом для
        ряда из них дано ещё множество вариантов. Для получения справки по какому-либо типу вейвлета при работе в командном режиме MATLAB достаточно исполнить команду waveinfo (‘type’), указав тип вейвлета. Для просмотра же вейвлетов достаточно исполнить команду wavemenu и в появившемся окне со списком разделов ВП нажать кнопку Wavelet Display.
      • Вейвлет-спектр Ws (a,b) (wavelet spectrum, или time-scale-spectrum – масштабно-временной спектр) в отличие от фурье-спектра (single spectrum) является функцией двух аргументов: первый аргумент а (временной масштаб) аналогичен периоду осцилляций, т.е. обратен частоте, а второй b – аналогичен смещению сигнала по оси времени.
      • При анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вейвлетов ВП получает существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) анализируемого сигнала, так как используемая при этом система функций (комплексная экспонента или синусы и косинусы) определена на бесконечном интервале.
      • Поэтому неслучайно многие исследователи называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом». Это название хорошо отражает замечательные свойства метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Параметр сдвига b фик-
        сирует точку фокусировки микроскопа, масштабный коэффициент aувеличение, и, наконец, выбором материнского вейвлета ψ определяют оптические качества микроскопа. Способность этого микроскопа обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднородного процесса и изучать его локальные свойства продемонстрирована на многих примерах.
      • Диадное вейвлет-преобразование

        При непрерывном изменении параметров a и b для расчета вейвлет-спектра необходимы большие вычислительные затраты. Множество функций ψab (t) избыточно. Необходима дискретизация этих параметров при сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразования. Дискретизация, как правило, осуществляется через степени двойки.

      • Диадное ВП часто называют дискретным. Однако, по мнению ряда авторов, например В.П. Дьяконова [8], такая подмена формулировки не совсем корректна: правильнее называть его диадным, представляющим особую разновидность непрерывного ВП и позволяющим устранить избыточность последнего.
      • Дискретное преобразование

        Статьи, касающиеся практического использования ВП, содержат в основной своей массе результаты компьютерных расчетов, в которых использовано дискретное вейвлет-преобразование (ДВП или DWT). При этом не только параметры a и b , но и сигналы также дискретизируются во времени.

      • Вейвлет-коэффициенты cmk (или c jk ) можно вычислить с помощью итерационной процедуры, известной под названием быстрого вейвлет-преобразования БВП. Алгоритм БВП приведен в п. 2.4. При этом, если необходимо, можно сжать полученные данные, отбросив некоторую несущественную часть закодированной таким образом информации. Осуществляется это квантованием, в процессе которого приписываются разные весовые множители различным вейвлет-коэффициентам. Аккуратно проведенная процедура позволяет не только удалить некоторые статистические флюктуации и повысить роль динамических характеристик сигнала, но и существенно сократить компьютерную память и требования к передаче информации и, следовательно, снизить расходы.
      • ДВП в Mathcad
        1. единственный вейвлет –Добеши db4 (или DB4). При этом реализация ВП происходит с большой скоростью (т.е. эффективностью) и можно осуществлять практическое исследование различных сигналов и временных рядов на выявление как их свойств, так и свойств ВП.
        2. Ядро систем Mathcad содержит две следующие функции ВП:
          wave(x) – вектор прямого ВП;
          iwave(w) – вектор обратного ВП.
      • О вейвлетах для БВП

        Большинство используемых вейвлетов не имеют, к сожалению, аналитического выражения. Однако из предыдущего рассмотрения следует, что для практических расчетов используются не сами вейвлеты, а их коэффициенты hl .
        Эти коэффициенты, однозначно определяющие отцовский ϕ(t) и материнский ψ(t) вейвлеты, могут быть найдены из решения уравнения (2.11).
        Следует отметить, что процесс определения коэффициентов hl , т.е. конструирования вейвлетов, достаточно сложен для пользователя. Да в этом и нет особой необходимости, так как уже создано большое число вейвлетов, в том числе входящих в пакет расширения Wavelet Toolbox, например, вейвлеты Добеши (dbN), Симплета (sumN), Койфлета (coifN), Хаара (haar) и др.; их подробное описание приведено в [7, 8].
        Особо следует отметить вейвлеты Добеши. Это один из самых известных и используемых во многих практических приложениях типов. Вейвлеты порядка N (dbN) отличны от нуля лишь на интервале длиной 2N–1 и имеют 2N отличных от нуля коэффициентов фильтров hl и gl . Исключая случай N = 1 (а это есть базис Хаара, который не регулярен), функции ϕ(t) и ψ(t) непрерывны и дифференцируемы.

    • ВП находит все более широкое применение в исследовании и прогнозе временных рядов. Фактически временным рядом является любая функция (или сигнал), представленная в отдельные моменты времени. Кроме уже рассмотренных дискретных сигналов временным рядом может быть последовательность отсчетов температуры или давления среды, стоимость акций или курс доллара в определенные моменты времени, Интернет-трафик и т.п. В отечественной литературе перспективы применения ВП для анализа временных рядов рассмотрены в работе [15]. Известны успешные попытки применения ВП для прогнозирования таких событий, как прогноз погоды, возникновение
      землетрясений, цунами и других природных катаклизмов, разрушения различных двигателей, событий типа «черного вторника» (как случившегося в США, так и у нас) и др. Лишь два интересных примера: предсказание разноса авиационного двигателя с помощью ВП подробно описано в обзорной статье [19], выявление финансового кризиса путем построения вейвлет-спектра
      курса закрытия акций компании Лукойл – в книге [8].

Добавить комментарий

Translate »