0.1.0.10 Бенуа Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы — конспект ВК

Фрактальная геометрия природы
Наблюдение Блеза Паскаля: «Воображение иссякает прежде Природы«.
ВК: Фильмы, основанные на реальных событиях, практически всегда интереснее основанных на «изысках режиссёра». 🙂
Применение языка математики к естественным наукам оказывается непостижимо эффективным … дар, которого мы настолько же не понимаем, насколько не заслуживаем.
Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности.
ВК: «за счёт строго больше автор отделяет «расходящиеся» множества со встроенной бесконечной рекурсией, от сходящихся множеств без рекурсии вообще или с рекурсией сходящейся.»
По сравнению с гармоническим анализом фракталы просты и интуитивно понятны. ВК: гармонический анализ тоже прост и интуитивно понятен. 🙂
Довольно расплывчатое понятие формы включает не только топологические, но и другие математические аспекты. Топология не видит разницы между различными береговыми линиями. Однако различные береговые линии имеют, как правило, различные фрактальные размерности! За счёт фрактальных аспектов формы. «Хаусдорфова» размерность — фрактальная размерность — не имеет ничего общего с размерностью хаусдорфова пространства, с топологической размерностью такого пространства.
Эффективная размерность — не математическое, а мощное интуитивное понятие. Тот факт, что эффективная размерность существенно зависит от соотношения объекта и наблюдателя — не только в духе современной физики, но и достойный подражания пример.
Большинство объектов, рассматриваемых в этой книге, похожи на наш нитяной клубок — они демонстрируют целую последовательность эффективных размерностей. Однако существует одно важное отличие — некоторые недостаточно определённые переходы между зонами с выраженной размерностью интерпретируются здесь как зоны с фрактальной размерностью D > Dt.
Наилучшими можно считать те фракталы, которые демонстрируют наилучшую инвариантность. Фрактал, инвариантный при обычном преобразовании подобия, называется самоподобным.
Масштабно-инвариантные фракталы используются лишь как первые приближения к природным объектам. Можно лишь удивляться тому, сколь верными могут оказываться эти приближения. Поразительные аналитические следствия идеи самоподобия в приложении к турбулентности были сформулированы Колмогоровым. И всё же впервые герметрические аспекты нестандартной масштабной инвариантности в применении к Природе были впервые сформулированы автором в 1975 году.
Синдром расходимости. С фрактальными расходимостями справляться проще ранее изученных расходимостей.

Неясность изложения — не добродетель

Эрудиция полезна для души

интерас к истории идей полезен для души учёного.
Стоит ли ставить в заслугу Пуанкаре те мысли, которые он в молодости не удосужился разработать, а в зрелом возрасте и вовсе отверг? Однако демонстрация эрудиции автора ни в коей мере не является целью этой книги. 🙂

Вижу, значит верю!

Не было визуального сопровождения в работах Вейерштрасса, Кантора и Пеано. «Небесная механика» Лапласа вышла без единой иллюстрации!
Теория фракталов, как никакая другая, требует обратного подхода — «Вижу, значит верю». Однако демонстрация красивых картинок не является главной целью этой книги! 🙂
Для практического использования вполне достаточно, чтобы и герметрическая концепция (скажем, прямая) и её изображение на картинке были заключены между характеристическими ограничениями сверху и снизу (большим, но конечным — внешний порог, и меньшим, но положительным — внутренний порог) — эти пороги так или иначе присутствуют или предполагаются в Природе.
Возможности графики естественным образом расширяет кинематография (ВК: в наше время — видео).

Три классических фрактала

Кривые, фрактальная размерность которых > 1.
Побережье Британии.
- По мере уменьшения шага измерения оценка дляны получается сколь угодно большой!
- Признание и значение произвольности результатов наблюдений.
- Всё, что не укладывается в рамки классификаций, всегда представляет собой тучную ниву для научных открытий.
- Настоящее эссе, скромной целью которого является полное обновление геометрии Природы … 🙂
- Можно, должно и естественно предполагать, что размерность береговой линии превосходит обычное эвклидово значение 1.
Размерность Хаусдорфа—Безиковича — фрактальная размерность — размерность самоподобия
- ВК: Пример вычисления размерности Хаусдорфа-Безиковича . Очень неплохое объяснение на русском языке.
  - Неформально идею можно понять, если усвоить, что множества характеризуются размером (например, длина стороны квадрата), мерой (например, площадью квадрата) и размерностью (степень, в которую нужно возвести размер, чтобы получить меру (например, для квадрата эта степень — 2 — размер стороны нужно возвести во вторую степень («в квадрат»), чтобы получить площадь квадрата). Для куба размерность равна 3 — размер (сторону куба) нужно возвести в третью степень («в куб»), чтобы получить меру куба- его объём.
  - Эти всем хорошо знакомые ситуации обобщаются на множества-фракталы, где размерность (фрактальная размерность) может быть дробной.
  - Основные идеи такого обобщения:
    - Размерность подобных множеств одинакова
    - Размерность множества определяется размером и количеством самоподобных компонент этого множества
    - Размерность — это та степень, в которую нужно возводить размер множества, чтобы получить его меру.

Сложное или простое и правильное

Теория Колмогорова-Чайтина утверждает, что фрактал-кривая Коха или снежинка Коха ничуть не сложнее окружности — в теории Колмогорова-Чайтина сложность объекта определяется длиной (в некотором «алфавите») лучшего на данный момент алгоритма построения этого объекта (окружность строится из правильных многоуголльников последовательным увеличением числа их сторон, а снежинки Коха — последовательным добавлением самоподобных фрагментов Коха, стороить которые не сложнее, чем строить очередной многоугольник в случае окружности). Снежинки Коха — это последовательно правильный треугольник, звезда Давида, собственно «снежинка», затем снежинки всё более затейливого вида.
Изменения цен подчиняются устойчивому распределению Леви
Последовательные изменения цен независимы с нулевым ожиданием.
Насколько мне известно, ещё ни одна математическая модель не давала прогнозов, сравнимых по успешности с моими.
Ближайшие родственники фракталов — гиперболические распределения вероятностей.

Степени стационарности и связанные с этим недоразумения

Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени $\;t_1, t_2, \ldots, t_n$ , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.

Многие полагают, что под стационарностью понимается лишь неизменность управляющих процессом правил. Это далеко не так.
Статистики предлагают нам множество методоа «анализа временнЫх рядов«. На деле же диапазон возможностей этих методов оказывается гораздо уже, чем можно было бы ожидать. Даже когда авторы проверяют свои методы на «устойчивость», они учитывают лишь минимальные отклонения от простейшего состояния, не принимая во внимание радикальных отклонений, ничуть не противоречащих стационарности. Понятие стационарности может включать в себя изобилие самых различных и неожиданных форм поведения.
Граница между стационарными и нестационарными процессами окупирована процессами, которые, хотя и не отвечают нашим интуитивным представлениям о стационарности, вполне могут быть объектом научного исследования
…

Снова о фракталах

…

Биографические очерки

ВК: Исключительно интересно.
Расхожее клише о том, что наука — дело молодых, к данному случаю неприменимо (Поль Леви, д’арси Уэнтворт Томпсон, Луи Башелье, Льюис Фрай Ричардсон, Гарольд Эдвин Хёрст, Фурнье д’Альба, Джордж Кингсли Ципф). Словарь биографий учёных.
Когда результат оказывается по-настоящему неожиданным, его очень трудно понять и принять даже тому, кто расположен слушать.
Практикующие статистики и социологи предпочли проигнорировать открытия Ципфа, чем частично и объясняется поразительное отставание в общественных науках. Фундаментальная идея Ципфа в корне не верна. Феномены, изучаемые общественными науками. далеко не всегда демонстрируют гиперболическую плотность распределения. Я многим обязан Ципфу, но лишь благодаря посредничеству Уолша (его рецензии на книгу Ципфа) .

Аристотель и Лейбниц. Великая цепь бытия. Химеры и фракталы.

Великие вожди великих движений презирали друг друга и яростно сражались между собой, однако по своим интеллектуальным корням они — братья.
История не в сосотоянии объяснить тайны непостижимой эффективности математики.
Для того, чтобы сделать ту или иную задачу достойной изучения, недостаточно простого проявления интереса к ней учёных ранга Гаусса, Кельвина, Больцмана или Максвелла. Оказавшись им не по зубам, задача рискует впасть в глубокое забвение.

Масштабная инвариантность

Лейбниц: прямая есть кривая, каждая чамть которой подобна целому. Его же «Монадология»: мельчайшие частицы мироздания обладают в точности настолько же сложной организацией, что и большие его части.

Пуанкаре и фрактальные аттракторы

Эпилог. Путь к фракталам

Исследование последствий самоподобия иринесли мне немало удивительных сюрпризов и помогли мне лучше разобраться в принципах устройства природных конструкций.
Моя теперешняя склонность придавать последствиям большее значение, чем причинам, только усилилась.
Результаты, полученные с помощью скейлинговых методов, работают поразительно хорошо.
Свойство масштабной инвариантности сочетает в себе два наиболее ярких отличительных признака рыночных цен в условиях конкуренции — высокую дискретность и цикличность в отсутствие периодичности. … использование в экономике симметрии инвариантности на физический манер.
В наши дни весьма редкими, и стало быть, аномальными, стали проникновение в большую науку свежих концепций и новых методов из низкорентабельных её областей. Фрактальная геометрия являет нам один из примеров таких исторических аномалий.